Análisis Demográfico 1
Dr. Víctor Manuel García Guerrero
vmgarcia@colmex.mx
¿Qué es la demografía?Tip
La demografía es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la poblaciones humanas tratando, desde un punto de vista principalmente cuantitativo, su dimensión, estructura, evolución y características generales.
PoblaciónTip
¿Qué es la demografía?Tip
“[…] en definitiva puede considerarse que las investigaciones realizadas en el marco restringido del análisis demográfico constituyen el ‘nucleo’ de la demografía como ciencia, bien entendido que tales investigaciones conciernen exclusivamente al estudio del tamaño, distribución territorial y composición de la población como así también a sus cambios y a los componentes de tales cambios”
¿Qué es la demografía?Tip
Bibliografía
EvaluaciónTip
Tip
Fuentes de información en demografíaTip
Fuentes de información en demografíaCenso de facto
Es un método de conteo de individuos basado en dónde se encuentran físicamente en el momento del censo, independientemente de su lugar de residencia habitual. Puede ser particularmente útil para ciertas necesidades de recopilación de datos a corto plazo, pero puede no siempre proporcionar la imagen más precisa para la planificación y asignación de recursos a largo plazo. * Presencia física * Instantánea en el tiempo * Enumeración simplificada
Fuentes de información en demografíaVentajas de un censo de facto
Fuentes de información en demografíaDesventajas de un censo de facto
Fuentes de información en demografíaCenso de jure
Es un método de conteo de individuos basado en su lugar de residencia habitual, independientemente de dónde se encuentren físicamente en el momento del censo. Un censo de jure es esencial para obtener una visión precisa y estable de la población residente, crucial para una planificación efectiva y la asignación de recursos a largo plazo.
Fuentes de información en demografíaVentajas de un censo de jure
Fuentes de información en demografíaDesventajas de un censo de jure
Fuentes de información en demografíaEn resumen
Fuentes de información en demografíaVentajas de los censos
Fuentes de información en demografíaLimitaciones de los censos
Fuentes de información en demografíaMala declaración de edad y sexo
Fuentes de información en demografíaMitigación de la mala declaración de edad y sexo
Fuentes de información en demografíaEvaluación
Fuentes de información en demografíaEvaluación
Prorrateo de no especificado
\[ \begin{aligned} N^*_x = N_x + N_{ne} \frac{N_x}{\sum_{x=0}^w N_x} \end{aligned} \]
Fuentes de información en demografíaEvaluación
Índice de Whipple (preferencia por dígitos 0 y 5)
\[ \begin{aligned} W = 5\frac{N_{25}+N_{30}+N_{35}+...+N_{55}+N_{60}}{N_{23}+N_{24}+N_{25}+...+N_{55}+N_{62}} \end{aligned} \] \(W\in[1,5]\) donde 1 indica no prefencia de dígitos y 5 una alta preferencia.
Fuentes de información en demografíaEvaluación
Índice de Myers
Myers (1940) desarrolló un índice “combinado” para medir la preferencia de los 10 dígitos (Myers 1954). El método determina la proporción de la población cuya edad termina en cada d ́ıgito terminal (0-9), variando también la edad de inicio particular para cualquier grupo de edad de 10 años. Se basa en el principio de que, en ausencia de redondeo de edades, la población agregada en cada dígito terminal 0-9 debería representar aproximadamente el 10 por ciento de la población total. Su valor oscila entre 0 (no concentración de edades) a 90 (total concentración en una edad)
Fuentes de información en demografíaEvaluación
Tip
El método implica 5 pasos principales (Siegel Jacob y Swanson David 2004):
Sumar las poblaciones que terminan en cada dígito sobre todo el rango, comenzando con el límite inferior del rango (por ejemplo, 10,20,30,…,80; 11,21,31,…,81).
Determinar la suma excluyendo la primera población en cada grupo del paso 1 (por ejemplo, 20,30,…,80; 21,31,…,81).
Ponderar las sumas de los pasos 1 y 2 y sumar los resultados para obtener una población combinada (por ejemplo, pesos 1 y 9 para el d ́ıgito 0; pesos 2 y 8 para el dígito 1).
Convertir la distribución del paso 3 en porcentajes.
Tomar la mitad de la suma de las desviaciones absolutas de cada porcentaje en el paso 4.
Fuentes de información en demografíaEvaluación
Tip
Fuentes de información en demografíaCorrección
Fuentes de información en demografíaCorrección
Fuentes de información en demografíaCorrección
Tip
Fuentes de información en demografíaCorrección
Fuentes de información en demografíaTip
Fuentes de información en demografíaTip
Conceptos básicosNote
Conceptos básicosNote
Tasas de periodo y años-personaNote
Tasas de periodo y años-personaTasas de periodo y años-persona\(AP[t_1,t_2]= \sum_{i=t_1}^{t_2}N_i\Delta_i\)
\(AP[t_1,t_2]= \sum_{i=t_1}^{t_2}N_i\Delta_i\)
\(AP[t_1,t_2]= \int_{t_1}^{t_2}N(t)dt\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\color{red}{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}}\)
Important
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\color{red}{\frac{\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{\frac{N(t)}{1}}}\)
Important
Por la ley del “Sándwich”. Es decir, para \(a,b,c,d\) números reales,tenemos que \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a.d}{b.c}\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\color{red}{\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}}\)
Important
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\color{red}{\frac{N^{'}(t)}{N(t)}}\)
Important
Por la definición de la derivada en un punto \(t\): \(N^{'}(t)=\frac{dN(t)}{dt}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{N(t_2)-N(t_1)}{t_2-t_1}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\color{red}{\frac{d In(N(t))}{dt}}\)
Important
Por la derivada de \(In(t)\) en un punto \(t\): \(\frac{d}{dt}In(t)=\frac{1}{t}\).
Y más en general, para cualquier función derivable \(f(t)\) \(\frac{d}{dt}In[f(t)]=\frac{f^{'}(t)}{f(t)}\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\color{red}{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)dt}\)
Important
Integrando por ambos lados de la ecuación sobre el intervalo \((t_1,t_2)\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)=\color{red}{In[N(t_2)]-In[N(t1)]}\)
Important
Por teorema fundamental del cálculo. En esencia, lo que nos dice el teorema, es que la derivada y la integral son operaciones inversas.
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)dt=In[N(t_2)]-In[N(t1)]=\color{red}{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}\)
Important
Por leyes de los logaritmos. Para cualquiera números \(a\) y \(b\) se satisface \(In(\frac{a}{b})=In(a)-In(b)\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)dt=In[N(t_2)]-In[N(t1)]=\color{red}{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}\)
\(\color{red}{e^{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}=e^{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}}\)
Important
Aplicando la exponencial a ambos lados de la ecuación \(e^x\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)dt=In[N(t_2)]-In[N(t1)]=\color{red}{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}\)
\(e^{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}=\color{red}{\frac{N(t_2)}{N(t_1)}}\)
Important
Esto es, pues, la exponencial, \(e^x\), y el logaritmo natural, \(In(x)\), son operaciones inversas Esto es \(e^{In(x)}=x\)
Warning
Ojo: \(In(e^x)=x\) si y solo si \(x>0\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)dt=In[N(t_2)]-In[N(t1)]=\color{red}{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}\)
\(e^{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}=\frac{N(t_2)}{N(t_1)}\)
\(N(t_2)= \color{red}{N(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}}\)
Important
Despejando \(N(t_2)\)
Tasas de crecimiento\(r(t_1,t_2)=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{AP[t_1,t_2]}\)
\(r(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{N(t)\Delta t}=\frac{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}}{N(t)}=\frac{N^{'}(t)}{N(t)}=\frac{d In(N(t))}{dt}\)
\(\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}In(t)dt=In[N(t_2)]-In[N(t1)]=In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]\)
\(e^{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}=\frac{N(t_2)}{N(t_1)}\)
\(N(t_2)= N(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}\)
\(\color{red}{\overline{r}(t_1,t_2)=\frac{\int_{t_1}^{t_2}r(t)dt}{t_2-t_1}=\frac{In[\frac{N(t_1)}{N(t_2)}]}{t_2-t_1}}\)
Important
Aproximación a los AP\(AP[t_1,t_2]=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{\overline{r}(t_1,t_2)}\)
Aproximación a los AP\(AP[t_1,t_2]=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{\overline{r}(t_1,t_2)}\)
\(\hspace{5.5cm}\color{red}{=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{\frac{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}{t_2-t_1}}}\)
Important
Por lo el resultado anterior cuando \(r(t)=\overline{r}(t_1,t_2)=\frac{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}{t_2-t_1}\)
Aproximación a los AP\(AP[t_1,t_2]=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{\overline{r}(t_1,t_2)}\)
\(\hspace{5cm}=\frac{N(t_2)-N(t_1)}{\frac{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}{t_2-t_1}}\)
\(\hspace{5cm}\color{red}{=\frac{N(t_2)-N(t_1).[t_2-t_1]}{In[\frac{N(t_2)}{N(t_1)}]}}\)
Important
Por la ley del “Sandwich”
Diagrama de Lexis
Diagrama de LexisDiagrama de LexisDiagrama de Lexis-Probabilidades cohorte por edad\({}_1q_0^{\text{C1980}} = \frac{{}_1D_0^{\text{C1980}}}{B_0^{\text{C1980}}}\)
\({}_5q_{25}^{\text{C1980}} = \frac{{}_5D_{25}^{\text{C1980}}}{{}_5N_{25}^{\text{C1980}}}\)
Tasa especificas por edad de periodo\({}_nM_x[t_1,t_2]=\frac{{}_nD_x[t_1,t_2]}{{}_nAP_x[t_1,t_2]}=\frac{{}_nD_x[t_1,t_2]}{(t_2-t_1){}_nN_x}\)
Nota
Usualmente \(t_2 - t_1 = n\)
EstandarizaciónRecordando
Estandarización\(\text{tbm}=\frac{D}{N}=\frac{\sum_{x=0}^\omega {}_nD_x}{N}\)
Estandarización\(\text{tbm}=\frac{D}{N}=\frac{\sum_{x=0}^\omega {}_nD_x}{N}\)
\(\hspace{3.5cm}= \sum_{x=0}^{\omega}\frac{{}_nD_x}{N}\frac{{}_nN_x}{{}_nN_x}\)
Estandarización\(\text{tbm}=\frac{D}{N}=\frac{\sum_{x=0}^\omega {}_nD_x}{N}\)
\(=\hspace{3.5cm}\sum_{x=0}^{\omega}\frac{{}_nD_x}{N}\frac{{}_nN_x}{{}_nN_x}\)
\(=\hspace{3.5cm} \sum_{x=0}^{\omega} \frac{{}_nD_x}{{}_nN_x} \frac{{}_nN_x}{N}\)
\(=\hspace{3.5cm}\sum_{x=0}^{\omega} {}_nM_x \hspace{0.5cm} {}_nC_x\)
donde
\(\sum_{x=0}^{\omega} {}_nC_x = \frac{\sum_{x=0}^{\omega +} {}_nN_x}{N}=1\)
EstandarizaciónTomando la \({}_nC_x de Europa\)
\(tbm^*=\sum_{x=0}^{\omega} {}_nM^{Africa}_x \hspace{0.5cm} {}_nC^{Europa}_x\)
EstandarizaciónTomando la \({}_nC_x\) de Europa
\(tbm^*=\sum_{x=0}^{\omega} {}_nM^{Africa}_x \hspace{0.5cm} {}_nC^{Europa}_x\)
En general
\(ASCDR^j= \sum_{x=0}^{\omega} {}_nM_x^{j}\,{}_nC_x^S\)
para \(j=A,B\) y
\({}_nC_x^S = \frac{{}_nC_x^A+{}_nC_x^B}{2}\)
La Tabla de MortalidadDatos observados
\({}_nN_x\) es la población a la mitad de año entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nD_x\) son las defunciones totales que ocurridas entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nm_x = \frac{{}_nd_x}{{}_nL_x}\simeq \frac{{}_nD_x}{{}_nN_x}\)
La Tabla de MortalidadDatos observados
\({}_nN_x\) es la población a la mitad de año entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nD_x\) son las defunciones totales que ocurridas entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nm_x = \frac{{}_nd_x}{{}_nL_x}\simeq \frac{{}_nD_x}{{}_nN_x}\)
\({}_nd_x = l_x-l_{x+n}=l_x\hspace{0.2cm}{}_nq_x\)
La Tabla de MortalidadDatos observados
\({}_nN_x\) es la población a la mitad de año entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nD_x\) son las defunciones totales que ocurridas entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nm_x = \frac{{}_nd_x}{{}_nL_x}\simeq \frac{{}_nD_x}{{}_nN_x}\)
\({}_nd_x = l_x-l_{x+n}=l_x\hspace{0.2cm}{}_nq_x\)
\({}_nq_x = \frac{{}_nd_x}{l_x}\)
La Tabla de MortalidadDatos observados
\({}_nN_x\) es la población a la mitad de año entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nD_x\) son las defunciones totales que ocurridas entre las edades \(x\) y \(x+n\)
\({}_nm_x = \frac{{}_nd_x}{{}_nL_x}\simeq \frac{{}_nD_x}{{}_nN_x}\)
\({}_nd_x = l_x-l_{x+n}=l_x\hspace{0.2cm}{}_nq_x\)
\({}_nq_x = \frac{{}_nd_x}{l_x}\)
\({}_nL_x=nl_{x+n}+{}_nA_x=nl_{x+n}+{}_na_x/,{}_nd_x\)
Tabla de Mortalidad {Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=\color{red}{nl_x-n{}_nd_x}+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
Ojo
Por propiedad distributiva, es decir, para cualesquiera \(a,x,y\) números se satisface: \(a*(x+y)=a*x+b*y\)
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=\color{red}{nl_x-n{}_nd_x}+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
La trampa esta en los pormenores
Despejando \(nl_x\). Asi pues:
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nl_x={}_nL_x+n{}_nd_x-{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\) despejando \(nl_x\)
\({}_nl_x={}_nL_x+\color{red}{(n-{}_na_x){}_nd_x}\), por propiedad distributiva
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
\(l_x=\color{red}{\frac{1}{n}[{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x]}\)
La trampa esta en los pormenores
Despejando \(l_x\)
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
\(l_x=\frac{1}{n}[{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x]\)
Recordemos que:
\(\color{red}{{}_nq_x=\frac{{}_nd_x}{l_x}}\)
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
\(l_x=\frac{1}{n}[{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x]\)
Recordemos que:
\({}_nq_x=\frac{{}_nd_x}{l_x} =\color{red}{ \frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x}}\)
La trampa esta en los pormenores
Sustituyendo \({}_nl_x\) en \({}_nq_x\). Asi tenemos que:
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
\(l_x=\frac{1}{n}[{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x]\)
Recordemos que:
\({}_nq_x=\frac{{}_nd_x}{l_x} =\color{red}{ \frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x}}\)
La trampa esta en los pormenores
Sustituyendo \({}_nl_x\) en \({}_nq_x\). Asi tenemos que:
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
\(l_x=\frac{1}{n}[{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x]\)
Recordemos que:
\({}_nq_x=\frac{{}_nd_x}{l_x}= \frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x} = \color{red}{\frac{\frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x}}{\frac{({}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x)}{{}_nL_x}}}\)
La trampa esta en los pormenores
Tomando en cuenta que
\(\frac{\frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x}}{\frac{({}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x)}{{}_nL_x}} = \frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x\hspace{0.2cm}{}_nL_x}{({}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x){}_nL_x} = \frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x}\) aplicando la ley del sandwich
Método de Greville y Chiang para el cálculo de $L_x$Entonces:
\({}_nL_x=n(l_x-{}_nd_x)+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\({}_nL_x=nl_x-n{}_nd_x+{}_na_x\hspace{0.2cm}{}_nd_x\)
\(nl_x={}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x\)
\(l_x=\frac{1}{n}[{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x]\)
Recordemos que:
\({}_nq_x=\frac{{}_nd_x}{l_x}= \frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x} = \frac{\frac{n\hspace{0.3cm}{}_nd_x}{{}_nL_x}}{\frac{({}_nL_x+(n-{}_na_x){}_nd_x)}{{}_nL_x}} = \frac{n\hspace{0.2cm}{}_nm_x}{1+(n-{}_na_x){}_nm_x}\)
Repaso de la Tabla de Mortalidad\({}_na_x=\frac{-\frac{n}{24}{}_nd_{x-n}+\frac{n}{2}{}_nd_x+\frac{n}{24}{}_nd_{x+n}}{{}_nd_x}\)
Pero cuando \(n=1\) entonces \({}_na_x=0.5\)
Repaso de la Tabla de Mortalidad\({}_na_x=\frac{-\frac{n}{24}{}_nd_{x-n}+\frac{n}{2}{}_nd_x+\frac{n}{24}{}_nd_{x+n}}{{}_nd_x}\)
Pero cuando \(n=1\) entonces \({}_na_x=0.5\)
Para el último grupo de edad:
\({}_{\infty}q_x = 1\)
Repaso de la Tabla de Mortalidad\({}_na_x=\frac{-\frac{n}{24}{}_nd_{x-n}+\frac{n}{2}{}_nd_x+\frac{n}{24}{}_nd_{x+n}}{{}_nd_x}\)
Pero cuando \(n=1\) entonces \({}_na_x=0.5\)
Para el último grupo de edad:
\({}_{\infty}q_x = 1\)
\({}_{\infty}L_x = \frac{l_x}{{}_{\infty}m_x}\)
Repaso de la Tabla de Mortalidad\({}_na_x=\frac{-\frac{n}{24}{}_nd_{x-n}+\frac{n}{2}{}_nd_x+\frac{n}{24}{}_nd_{x+n}}{{}_nd_x}\)
Pero cuando \(n=1\) entonces \({}_na_x=0.5\)
Para el último grupo de edad:
\({}_{\infty}q_x = 1\)
\({}_{\infty}L_x = \frac{l_x}{{}_{\infty}m_x}\)
Finalmente se calculan
\(T_x = \sum_{a=x}^{\infty}{}_nL_a\)
\(e_x^0=\frac{T_x}{l_x}\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x}\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=\color{red}{-\frac{dl(x)}{l(x)dx}}\)
La trampa esta en los pormenores
Aplicamos la definición de la derivada:
\(\lim_{n\to 0}\frac{l_x - l_{x+n}}{nl_x}=\lim_{n\to 0}-\frac{l_{x+n}-l_x}{nl_x}\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=\color{red}{-\frac{dl(x)}{l(x)dx}}\)
La trampa esta en los pormenores
Aplicamos la definición de la derivada:
\(\lim_{n\to 0}\frac{l_x - l_{x+n}}{nl_x}=\lim_{n\to 0}-\frac{l_{x+n}-l_x}{nl_x}\) factorizando un signo negativo
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=\color{red}{-\frac{dl(x)}{l(x)dx}}\)
La trampa esta en los pormenores
Aplicamos la definición de la derivada:
\(\lim_{n\to 0}\frac{l_x - l_{x+n}}{nl_x}=\lim_{n\to 0}-\frac{l_{x+n}-l_x}{nl_x}= -\frac{1}{l_x}\lim_{x\to 0}\frac{l_{x+n-l_x}}{n}\) pues el factor \(-\frac{1}{l_x}\) no depende de n y lo podemos sacar del límite.
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=\color{red}{-\frac{dl(x)}{l(x)dx}}\)
La trampa esta en los pormenores
Aplicamos la definición de la derivada:
\(\lim_{n\to 0}\frac{l_x - l_{x+n}}{nl_x}=\lim_{n\to 0}-\frac{l_{x+n}-l_x}{nl_x}= -\frac{1}{l_x}\lim_{x\to 0}\frac{l_{x+n-l_x}}{n}=-\frac{1}{l(x)}\frac{d}{dx}l(x)\) aplicando la definición de la derivada
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=\color{red}{-\frac{dInl(x)}{dx}}\)
La trampa esta en los pormenores
Recordemos que:
\(\frac{d}{dx}In[l(x)]=\frac{\frac{d}{dx}l(x)}{l(x)}=\frac{dl(x)}{l(x)dx}\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=\color{red}{-\frac{dInl(x)}{dx}}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=\color{red}{-\frac{dInl(x)}{dx}}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\int_y^z\frac{d}{dx}In[l(x)]dx\)
La trampa esta en los pormenores
Sustituyendo \(\mu(x)\) del bloque de Tasa instantánea de mortalidad
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=\color{red}{-\frac{dInl(x)}{dx}}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\int_y^z\frac{d}{dx}In[l(x)]dx=In[l(z)]-In[l(y)]\)
La trampa esta en los pormenores
Por Teorema Fundamental del Cálculo
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=\color{red}{-\frac{dInl(x)}{dx}}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\int_y^z\frac{d}{dx}In[l(x)]dx=In[l(z)]-In[l(y)] = In[\frac{l(z)}{l(y)}]\)
La trampa esta en los pormenores
Por Leyes de los logaritmos. Para cualquiera números \(a,b\), tenemos que \(In[\frac{a}{b}]=In(a)-In(b)\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=-\frac{dInl(x)}{dx}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\int_y^z\frac{d}{dx}In[l(x)]dx=In[l(z)]-In[l(y)] = In[\frac{l(z)}{l(y)}]\)
\(\implies \color{red}{l(z)=l(y)e^{-\int_y^z\mu(z)dx}}\)
La trampa esta en los pormenores
Despejando \(l(z)\):
\(e^{-\int_y^z\mu(x)dx}=e^{In[\frac{l(z)}{l(y)}]}\) aplicando \(e^x\) para todo \(x\)
\(e^{-\int_y^z\mu(x)dx}=\frac{l(z)}{l(y)}\) pues \(e^{In(x)}=x\) para todo \(x\)
\(l(z)=l(y)e^{-\int_y^z\mu(x)dx}\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=-\frac{dInl(x)}{dx}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\int_y^z\frac{d}{dx}In[l(x)]dx=In[l(z)]-In[l(y)] = In[\frac{l(z)}{l(y)}]\)
\(\implies \color{red}{l(z)=l(y)e^{-\int_y^z\mu(z)dx}}\)
Entonces: \(l(x)=l(0)e^{-\int_0^x\mu(t)dt}\)
La trampa esta en los pormenores
Si tomamos en cuenta \(y=x\) y \(z=0\)
Relaciones básicas de la mortalidadTasa instantánea de mortalidad
\(\mu(x)= \lim_{n\to 0}{}_nm_x = \lim_{n\to 0}\frac{{}_nd_x}{{}_nL_x} = \lim_{n\to 0}\frac{l_x-l_{x+n}}{nL_x}=-\frac{dl(x)}{l(x)dx}=-\frac{dInl(x)}{dx}\)
Función de supervivencia
\(-\int_y^z\mu(x)dx=\int_y^z\frac{d}{dx}In[l(x)]dx=In[l(z)]-In[l(y)] = In[\frac{l(z)}{l(y)}]\)
\(\implies \color{red}{l(z)=l(y)e^{-\int_y^z\mu(z)dx}}\)
Entonces: \(l(x)=l(0)e^{-\int_0^x\mu(t)dt}\)
Si tomamos \(l(0)=1\), obtenemos:
\(l(x)=e^{-\int_0^x\mu(t)dt}\)
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Definamos a \(X\) como al evento de que una persona muere en un tiempo \(t\). Entoces tenemos que:
\(q(X)= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{P(X\in(x,x+\Delta))}{\Delta t}\)
es una función de densidad. Y
\(Q(x)=P(X\leq x)= \int q(x)dx\)
es una función de distribución
La trampa esta en los pormenores
Vayamos con calma en este bloque. Una función de densidad o función de probabilidad,\(f\),es una función que cumple con las siguinetes tres propiedades.
\(f(x)>0\), es decir, es positiva para todo \(x\) en su dominio o sus valores permitidos.
\(\int_{Dom(x)}f(x)=1\), es decir, la integral sobre todo el dominio de la función \(f\) es 1.
\(f(x)\leq 1\) es decir, es menor o igual a 1
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Definamos a \(X\) como al evento de que una persona muere en un tiempo \(t\). Entoces tenemos que:
\(q(X)= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{P(X\in(x,x+\Delta t))}{\Delta t}\)
es una función de densidad. Y
\(Q(x)=P(X\leq x)= \int q(x)dx\)
es una función de distribución
La trampa esta en los pormenores
Porque son importantes las funciones de probabilidad?
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Definamos a \(X\) como al evento de que una persona muere en un tiempo \(t\). Entoces tenemos que:
\(q(X)= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{P(X\in(x,x+\Delta t))}{\Delta t}\)
es una función de densidad. Y
\(Q(x)=P(X\leq x)= \int q(x)dx\)
es una función de distribución
Tasa instantanea de mortalidad
\(\mu(X)= \lim_{\Delta x \to0} \frac{P(X\in (x,x+\Delta x)|Se\,llegó\, con \,vida\, al\, tiempo\,x )}{\Delta x}\)
El diablo esta en los detalles
\(\mu(X)= \lim_{\Delta x \to0} \frac{P(X\in (x,x+\Delta x)|Se\,llegó\, con \,vida\, al\, tiempo\,x )}{\Delta x}\)
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Definamos a \(X\) como al evento de que una persona muere en un tiempo \(t\). Entoces tenemos que:
\(q(X)= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{P(X\in(x,x+\Delta t))}{\Delta t}\)
es una función de densidad. Y
\(Q(x)=P(X\leq x)= \int q(x)dx\)
es una función de distribución
Tasa instantanea de mortalidad
\(\mu(X)= \lim_{\Delta x \to0} \frac{P(X\in (x,x+\Delta x)|Se\,llegó\, con \,vida\, al\, tiempo\,x )}{\Delta x}\)
El diablo esta en los detalles
\(\mu(X)= \lim_{\Delta x \to0} \frac{P(X\in (x,x+\Delta x)|Se\,llegó\, con \,vida\, al\, tiempo\,x )}{\Delta x}\)
\(\frac{q(X)}{1-Q(X)}=\frac{q(X)}{l(X)}\)
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Función de sobrevivencia
Como \(q(X)\) es una función de densidad, entonces:
\(q(X) = \frac{dQ(X)}{dx}=\frac{d[1-l(X)]}{dx}=-\frac{dl(X)}{dx}\)
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Función de sobrevivencia
Como \(q(X)\) es una función de densidad, entonces:
\(q(X) = \frac{dQ(X)}{dx}=\frac{d[1-l(X)]}{dx}=-\frac{dl(X)}{dx}\)
por lo que
\(\mu(X)=\frac{q(X)}{l(X)}=-\frac{dl(X)}{l(X)dx}=-\frac{dIn[l(X)]}{dx}\)
Relaciones básicas de la mortalidad (otra perspectiva)Función de sobrevivencia
Como \(q(X)\) es una función de densidad, entonces:
\(q(X) = \frac{dQ(X)}{dx}=\frac{d[1-l(X)]}{dx}=-\frac{dl(X)}{dx}\)
por lo que
\(\mu(X)=\frac{q(X)}{l(X)}=-\frac{dl(X)}{l(X)dx}=-\frac{dIn[l(X)]}{dx}\)
de lo que se sigue que:
\(l(x)=e^{-\int_0^x \mu(t)dt}\)
Relaciones básicas de la mortalidad (resumen)Patrones modelo de la mortalidadModelo de Gompertz
\(\mu(x)=BC^x\)
Patrones modelo de la mortalidadModelo de Gompertz
\(\mu(x)=BC^x\)
Modelo de Gompertz-Makeham
\(\mu(x)=A+BC^x\)
Patrones modelo de la mortalidadModelo de Gompertz
\(\mu(x)=BC^x\)
Modelo de Gompertz-Makeham
\(\mu(x)=A+BC^x\)
Modelo de Weibull
\(\mu(x)=kx^n\)
Patrones modelo de la mortalidadModelo de Gompertz
\(\mu(x)=BC^x\)
Modelo de Gompertz-Makeham
\(\mu(x)=A+BC^x\)
Modelo de Weibull
\(\mu(x)=kx^n\)
Modelo de Heligman y Pollard
\(\mu(x)=A^{(x+B)^C}+De^{-E(In(x)-In(F)^2)}+GH^x\)
Patrones modelo de la mortalidadOtras relaciones en la mortalidadEcuacion 1
\({}_nL_x=\int_0^nl(x+t)dt\)
Otras relaciones en la mortalidadEcuacion 1
\({}_nL_x=\int_0^nl(x+t)dt\)
Ecuacion 2
\({}_nd_x=\int_0^nl(x+t)\mu(x+t)dt\)
Otras relaciones en la mortalidadEcuacion 1
\({}_nL_x=\int_0^nl(x+t)dt\)
Ecuacion 2
\({}_nd_x=\int_0^nl(x+t)\mu(x+t)dt\)
Ecuacion 3
\(T_x=\int_0^{\omega-x}l(x+t)dt=\int_0^{\omega-x}l(x+t)dt\)
Otras relaciones en la mortalidadEcuacion 1
\({}_nL_x=\int_0^nl(x+t)dt\)
Ecuacion 2
\({}_nd_x=\int_0^nl(x+t)\mu(x+t)dt\)
Ecuacion 3
\(T_x=\int_0^{\omega-x}l(x+t)dt=\int_0^{\omega-x}l(x+t)dt\)
Ecuacion 4
\(e_x=\frac{\int_0^{\omega-x}t*l(x+t)\mu(x+t)dt}{\int_0^{\omega-x}l(x+t)\mu(x+t)dt}=\frac{\int_0^{\omega-x}l(x+t)dt}{l(x)}\)
Modelos relacionales de la mortalidad (Brass 1971)\(\hat{Y}(x)=logit[q(x)]=0.5In\left[ \frac{q(x)}{1-q(x)} \right]\)
\(\hat{Y}(x)=\alpha+\beta\hat{Y}^S(x)\)
Proyección logística de la mortalidad\(e_0(t)=k_1+\frac{k_2}{1+e^{a+bt}}\)
El modelo de Lee y Carter\(In(m_{x,t})=a_x+b_xk_t+\epsilon_{x,t}\)
sujeto a:
\(\sum_{t=0}^n k_t=0\)
\(\sum_{t=0}^{\omega} b_x=0\)
Estimación 1.Descomposición de Valores SingularesDada las restricciones del modelo, se sigue queÑ ::: {style=“text-align: center; font-size: 1.5em; margin-top:100px;”} \(\sum_{t=0}^n In(m_{x,t})=\sum_{t=0}^n a_z + \sum_{t=0}^n b_xk_t\)
\(\sum_{t=0}^{\omega} In(m_{x,t})=na_x\)
::: Por lo que:
\(\hat{a}=\frac{\sum_{t=1}^n In(m_{x,t})}{n}\)
Enronces:
\(In(m_{x,t})-\hat{a}=b_xk_t\)
Descomposición en Valores SingularesFormalmente, la factorización DVS indica que para toda \(\textbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}\) de rango \(r\), existen matrices ortogonales \(\textbf{U}_{m\times n}\) y \(\textbf{V}_{n\times n}\) y una matriz diagonal \(\textbf{D}_{n\times n}=diag(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_n)\) tales que: ::: {style=“text-align: center; font-size: 1.5em; margin-top:100px;”} \(\textbf{A}=\textbf{UDV}^t\,\sigma_1\geq\sigma_2\geq...\geq \sigma_n\)
:::
Las \(\sigma_i^{'}s\) son los valores singulares de \(\textbf{A}\). En la factorización anterior, a las solumnas de \(\textbf{U}\) y \(\textbf{V}\) se les denomina vectores singulares de \(\textbf{A}\) izquierdos y derechos, respectivamente. Entonces \(b_x\) se encuentra estimado por el primer vector propio izquierdo y \(k_t\) está determinado por la primera componente principal considerando el primer vector propio derecho determinado por el máximo eigenvalor \(\sigma_1\). De hecho, en general:
\(In(m_{x,t})=a_x+b_{x1}k_{kt1}+b_{x2}k_{t2}+...+b_{xn}k_{tn}\)
donde, \(\epsilon_{x,t}=b_{x2}k_{t2}+...+b_{xn}k_{tn}\)
Criterios de minimizaciónEl criterio de minimización apropiado se encuentra dado por el cálculo de la devianza: ::: {style=“text-align: center; font-size: 1.5em; margin-top:100px;”} \(devianza_t = 2\sum_{x=0}^{\omega+} \left[D_{x,t}In\left( \frac{D_{x,t}}{D^{'}_{x,t}} \right)-(D_{x,t}-D^{'}_{x,t}) \right]\)
:::
La devianza es imilar al cálculo de la prueba \(\chi-cuadrada\) para la bondad de ajuste de \(D^{'}_{x,t}\) además de que el cálculo es mas sencillo: ::: {style=“text-align: center; font-size: 1.5em; margin-top:100px;”} \(\chi^2=\sum_{t=1}^n\sum_{x=0}^{\omega+}\left[ \frac{(D_{x,t}-D^{'}_{x,t})^2}{D^{'}_{x,t}} \right]\)
donde \(D_{x,t}\) son las defunciones totales de los individuos a edad \(x\) ocurridas durante el año \(t\). Esta ecuación es utilizada para comparar la bondad de ajuste entre los modelos, el criterio de discriminación es: aquel modelo que presente la \(\chi^2\) menor es el que ajusta mejor a los datos de las defunciones.
:::
Coeficiente de determinación\(R^2 = 1 - \frac{\sum_{t=1}^{n} \sum_{x=0}^{w+} \left[ \ln(m_{x,t}) - a_x - b_x k_t \right]^2}{\sum_{t=1}^{n} \sum_{x=0}^{w+} \left[ \ln(m_{x,t}) - a_x \right]^2}\)
\(= 1 - \frac{\sum_{t=1}^{n} \sum_{x=0}^{w+} \varepsilon_{x,t}^2}{\sum_{t=1}^{n} \sum_{x=0}^{w+} \left[ \ln(m_{x,t}) - a_x \right]^2}.\)
Estimación 2. Broothet al(2001)Refinamiento, habiendo estimado \(a_x\) y \(b_x\) de acuerdoa LC
\(k_t=\frac{In(m_{x,t})-a_{x,1}}{b_{x,1}}\)
Estimación 3. LC alternativoHabiendo estimado \(a_x\)
\(k_t=\sum{}_{x=0}^{\omega}(In(m_{x,t})-a_x)\)
Entonces, \(b_x\) se estima por MCO
\(b_x=\frac{\sum{}_{x=0}^{\omega}(In(m_{x,t})-a_x)}{\sum_{t=0}^{n}k_t^2}\)